原码和补码

为什么要引入补码？

通俗来讲，在计算机中使用原码进行计算，不好用。

使用补码的优势：

• 统一了加法和减法：使用补码，计算机可以用相同的加法硬件来处理减法，这简化了硬件设计。对于任何两个数，无论它们是正是负，都可以直接进行加法操作，而不需要判断操作数的正负。
• 消除了负零的概念：在补码表示法中，只有一个零（+0 和 -0 都表示为 000），这避免了在其他数值表示法中可能出现的正零和负零的区别。
• 提高了负数表示的范围：在固定位宽的情况下，补码能表示的负数比其他表示法（如原码或反码）多一个。例如，在 8 位二进制中，补码可以表示从 -128 到 +127 的整数，而原码和反码只能表示从 -127 到 +127。
• 简化了计算机的逻辑设计：由于补码的特性，许多逻辑和算术运算（如加法、减法、比较）都可以用更简单的逻辑电路来实现。

先以原码表示法，来体验一下。

二进制原码表示法

假设有 3 位 bit ，则能表示的所有状态为共有 8 中：

• 000
• 001
• 010
• 011
• 100
• 101
• 110
• 111

把 000 用来表示 0：

• 000 = 0

把其余 0 开头的用来表示正数：

• 001 = 1
• 010 = 2
• 011 = 3

把 1 开头的用来表示负数：

• 100 = -0
• 101 = -1
• 110 = -2
• 111 = -3

缺点之一：是 000 和 100 都用来表示十进制数 0，其中 100 即负态的零。

  000   (表示 +0)
+ 100   (表示 -0)
------
  100   (表示 -0)

缺点之二，是计算结果不正确。

  010   (表示 +2)
+ 101   (表示 -1)
------
  111   (表示 -3)

二进制补码表示法

0 和正数的表示不变

把 000 用来表示 0：

• 000 = 0

把其余 0 开头的用来表示正数：

• 001 = 1
• 010 = 2
• 011 = 3

负数的表示需要做出一些改变，改变的核心有两点：

1. 消除负态零
2. 保证计算结果正确

把 1 开头的用来表示负数：

• 100 = -4
• 101 = -3
• 110 = -2
• 111 = -1

由于把 1 开头的 4 中状态，分别用来表示 -1 ~ -4，负态零的问题得到了解决。

关于计算结果是否正确，如下：

  010   (表示 +2)
+ 101   (表示 -3)
------
  111   (表示 -1)

可以看到计算结果正确。

如何快速的计算补码表示的十进制数

101 可以拆分为 100 和 001，把它们加起来就能得到它所表示的十进制数，即 -4 + 1 = -3。